Mathematik Hilfe Vol 3

Informationen zum Einsatz des Programms

Grundlegendes

Funktionsuntersuchungen auf Extrema, Wendestellen, Monotonieverhalten usw. bilden einen wichtigen Bestandteil des Mathematikunterrichts in der Oberstufe. Die sichere Berechnung der Ableitung einer Funktion gehört dabei zu den wesentlichen Grundtechniken. In den Berechnungen besitzen die Ableitungsregeln (Summen- und Faktorregel, Produktregel, Kettenregel und Quotientenregel) eine Schlüsselfunktion.
Das vorliegende Programm geht davon aus, dass die Ableitungen wichtiger Grundfunktionen bekannt sind:

(x^n)’ = n·x^(n-1) (sin x)’ = cos x (cos x)’ = - sin x (exp x)’ = exp x

(ln x)’ = 1/x

Dabei bezeichnet wie üblich exp x = die Exponentialfunktion x --> e^x mit der eulerschen Zahl e = 2,71828... . Da die Regel (x^n)’ = n·x^(n-1) für beliebige reelle Zahlen gilt, erfasst sie insbesondere die Ableitung von Wurzel(x) = x^(1/2).

In den Übungen ist die Eingabe von Funktionsvorschriften an keine spezielle Form gebunden. Ob beispielsweise die Ableitung von x·exp (2x) in der Form 2x·exp (2x) + exp(2x) oder (1 + 2x)exp(2x) eingegeben wird, ist für die Prüfung irrelevant, es wird lediglich u. U. auf Vereinfachungsmöglichkeiten einer Berechnungsvorschrift aufmerksam gemacht. Multiplikationszeichen können dort, wo sie nach üblicher Konvention in der Mathematik weggelassen werden können, entfallen.
Entsprechendes gilt für Klammern: sin x = sin (x), aber natürlich ist sin (2x) nicht sin 2x.

Unerwünschte oder noch nicht bekannte Funktionen können in den Übungen auch weggeklickt werden.

Im Grunde ist das Programm dreiteilig:
In den Übungen 1 – 7 wird der sichere Umgang mit den jeweils angegebenen Ableitungsregeln geprüft.

Wenn dabei Schwierigkeiten auftreten, helfen die Diagnoseübungen 8 und 9. Sie sorgen durch Hilfen verbunden mit differenzierten Fehlermeldungen dafür, dass die Differentiationsregeln korrekt angewandt werden.

Übung 10 schließlich kontrolliert die korrekte Berechnung der Ableitung von frei eingegebenen Funktionsvorschriften.
Die Übungen bieten wichtige Lernhilfen, die durch die Buchliteratur nicht möglich sind. Die Aufgaben bilden nur einen kleinen aber wesentlichen Auszug aus dem Gesamtbereich der Schulmathematik. Wenn Sie an einem elektronischen Programmpaket für die gesamte Schulmathematik mit allen Aufgabentypen und allen Herleitungen interessiert sind, finden Sie dies mit den unterschiedlichen Lizenzformen (Einzellizenz, Schullizenz mit oder ohne Schülerkopierlizenz) unter www.KLSoft.de.
Natürlich geben wir auch gern auf genauere Rückfragen Auskunft. Das Programmpaket wird an einigen hundert Schulen genutzt.

Zu den einzelnen Übungen:

Übung 1 (Summen- und Faktorregel):
Die beiden Regeln lauten für differenzierbare Funktionen wie die oben genannten:

f(x) = g(x) + h(x) --> f’(x) = g’(x) + h’(x) f(x) = c·g(x) --> f’(x) = c·g’(x)

In der Faktorregel bezeichnet c eine konstante Zahl.

Beispiel: Für f(x) = x² + 3·sinx ergibt sich f’(x) = 2x + 3·cosx

Übung 2 (Produktregel):
Für differenzierbare Funktionen kann diese Regel in der Form

f(x) = g(x)·h(x) --> f’(x) = g’(x)·h(x) + g(x)·h’(x)

angegeben werden.

Beispiele:

f(x) = x²·sinx besitzt die Ableitung f’(x) = 2x·sinx + x²·cosx

f(x) = expx·sinx liefert f’(x) = expx·sinx + expx·cosx = expx·(sinx + cosx)

Übung 3 und 4 (Kettenregel):
Die wohl wichtigste Regel ist die Kettenregel, die sich in der folgenden Form notieren lässt:

Für f(x) = g(h(x)) lautet die Ableitung f’(x) = h’(x)·g’(y) mit y = h(x), kurz notiert f’(x) = h’(x)·g’(h(x))

Man bezeichnet g(y) als äußere und h(x) als innere Funktion der verkettenen Funktion f(x) = g(h(x)).

Beispiel:

Für f(x) = sin(x²) ist x-->h(x) = x² innere und y --> g(y) = siny äußere Funktion. Wegen h’(x) = 2x und g’(y) = cos y mit y = x² ergibt sich die Ableitung f’(x) = 2x · cos(x²).


Das Programm läuft derzeit nicht auf Intel-CPUs.
Sie können sich für einen Funktionstest unsere kostenlose Demoversion von KLSoft3D herunterladen. Information on the use of the program

Understanding

Function studies on extremes, inflection points, monotony behavior, etc. are an important part of mathematics teaching in high school. The secure computing the derivative of a function is one of the essential basic techniques here. In the calculations, the derivation rules (sum and factor rule, product rule, chain rule and quotient rule) have a key role.
This program assumes that the derivatives important basic functions are known:

(X ^ n) '= n · x ^ (n-1) (sin x)' = x cos (cos x) '= - x sin (exp x)' = exp x

(Ln x) '= 1 / x

This refers as usual exp x = the exponential function x -> e ^ x with the Euler number e = 2.71828 .... Since the rule (x ^ n) '= n · x ^ (n-1) is valid for arbitrary real numbers, they detected, in particular the derivative of the root (x) = x ^ (1/2).

In the exercises, the input of operating rules to no specific form is attached. Whether, for example, the derivation of x · exp (2x) in the form 2x · exp (2x) + exp (2x) or (1 + 2x) exp (2x) is input, is irrelevant for the test, it is only u. U made. attention to simplification possibilities of calculation rule. Multiplication sign can where they can be omitted after the usual convention in mathematics, accounting.
The same applies to parentheses: sin x = sin (x), but of course is sin (2x) not sin 2x.

Unwanted or as yet unknown functions can also be clicked away in the exercises.

Basically, the program has three parts:
In the exercises 1-7 the safe handling of the derivation rules stated in each case is examined.

If this causes difficulties, helping the diagnosis exercises 8 and 9. They ensure joined by Aids with differentiated error messages that the differentiation rules are correctly applied.

Exercise 10 finally controls the correct calculation of the derivation of free input function rules.
The exercises provide essential learning tools that are not possible by the book literature. The tasks only form a small but significant excerpt from the complete range of school mathematics. If you are interested in an electronic program package for the whole school mathematics with all types of tasks and all the derivations, you can find it with the different license types (single license, education license with or without students copy license) under www.KLSoft.de.
Of course we also like to give more accurate information inquiries. The program package is used at several hundred schools.

The individual exercises:

Exercise 1 (sum and factor control):
The two rules are for differentiable functions like those mentioned above:

f (x) = g (x) + h (x) -> f '(x) = g' (x) + h '(x) f (x) = c · g (x) -> f' (x) = c · g '(x)

In the factor usually c denotes a constant number.

Example: f (x) = x + 3 * sin x gives f '(x) = 2x + 3 · cos

Exercise 2 (product rule):
For differentiable functions of this rule may be in the form

f (x) = g (x) · h (x) -> f '(x) = g' (x) · h (x) + g (x) * h '(x)

be specified.

Examples:

f (x) = sin x · x² has the derivative f '(x) = 2x · sin x + x² · cos

f (x) = sinx provides expx · f '(x) = sinx + expx expx · · · expx cosx = (sin x + cosx)

Exercise 3 and 4 (chain rule):
Probably the most important rule is the chain rule that leaves a note in the following form:

For f (x) = g (h (x)) is the derivative f '(x) = h' (x) · g '(y) where y = h (x), in brief f' (x) = h '(x) · g' (h (x))

Is called g (y) as the outer and h (x) as a function of the inner verkettenen function f (x) = g (h (x)).

Example:

For f (x) = sin (X) x -> h (x) = x² inner and y -> g (y) = siny external function. Because H '(x) = 2x and g' (y) = cos y with y = x² results in the derivative f '(x) = 2x · cos (X).


The program currently does not run on Intel CPUs.
You can download our free demo version of KLSoft3D for a functional test.